Λίγες σκέψεις για τον χώρο...

Καλησπέρα και καλή χρονιά!

Η αλήθεια είναι ότι, μετά από  κάτι παραπάνω από έναν μήνα απουσίας - μας έχει φάει η εξεταστική, βλέπετε - τα ξαναλέμε, για πρώτη φορά μέσα σε αυτό το έτος - φτάσαμε Φλεβάρη μήνα αισίως και η πρώτη ανάρτηση για το - βάλτε ό,τι χαρακτηρισμό θέλετε - 2017 είναι αμιγώς μαθηματικού περιεχομένου.

Βρέθηκα πριν από αρκετές εβδομάδες να συζητάω με έναν φίλο μου για το ζήτημα του μαθηματικού χώρου και πώς, μέσα από την μαθηματική ανάλυση, εξερευνούνται οι ιδιότητές του. Μία λοιπόν από αυτές τις ιδιότητες του αφηρημένου μαθηματικού χώρου είναι ότι, εν πολλοίς, η μορφή του καθορίζεται από εμάς τους ίδιους και από τον τρόπο που εμείς τον αντιλαμβανόμαστε, δηλαδή ότι δεν είναι μία δομή a priori σταθερή και παγιωμένη, αλλά ότι έχει έναν δυναμικό χαρακτήρα - ή ακόμα καλύτερα, ότι ακόμα και αυτός ο χώρος είναι ένα φαινόμενο της αντίληψης του όντος που «ζει» σε αυτόν. Αλλά ας πάρουμε τα πράγματα με τη σειρά.

Μία αρχική παραδοχή που θα κάνουμε για την συζήτησή μας είναι ότι ο μαθηματικός χώρος είναι απλά έχα σύνολο «σημείων» που μας δόθηκαν. Ακόμα καλύτερα, για να έχουμε έναν κοινό τόπο, μπορούμε να πάρουμε ως τον μαθηματικό μας χώρο να είναι το γνωστό σε όλους μας καρτεσιανό επίπεδο. Έχουμε λοιπόν μπροστά μας μία άπειρη λευκή κόλλα χαρτιού και στεκόμαστε σε ένα σημείο της το οποίο «βαφτίζουμε» ως αρχή των αξόνων και κοιτάμε προς μία κατεύθυνση την οποία «βαφτίζουμε» βορρά (άρα ακριβώς αντίθετα από αυτήν, θα είναι ο νότος). Έπειτα κοιτάμε πάνω από το δεξί μας χέρι (κάθετα στην προηγούμενη διεύθυνση) και «βαφτίζουμε» αυτήν την κατεύθυνση ανατολή (άρα ακριβώς αντίθετα από αυτήν θα είναι η δύση). Επιπλέον ορίζουμε μία απόσταση από εμάς - ας πούμε ένα βήμα - το οποίο το «βαφτίζουμε» μονάδα. Έχουμε λοιπόν την κλασσική εικόνα του καρτεσιανού επιπέδου:

Το Καρτεσιανό επίπεδο

Στη συνέχεια θεωρούμε ένα σημείο Α πάνω στο επίπεδο και φέρνουμε δύο ευθύγραμμα τμήματα παράλληλα προς τους άξονες ως εξής:

Συντεταγμένες

Οι αποστάσεις των σημείων Χ,Υ στα οποία οι δύο αυτές ευεθείες συναντούν τους άξονες από την αρχή των αξόνων ονομάζονται συντεταγμένες του σημείου Α (η απόσταση του σημείου Χ από την αρχή των αξόνων λέγεται τετμημένη και η απόσταση του σημείου Y από την αρχή των αξόνων λέγεται τεταγμένη). Στην προκειμένη περίπτωση μπορούμε να πούμε ότι οι συντεταγμένες του σημείου Α είναι το διατεταγμένο ζεύγος (1,2) - η σειρά εδώ παίζει ρόλο, καθώς το σημείο με συντεταγμένες (1,2) είναι διαφορετικό από το σημείο με συντεταγμένες (2,1).

Έχοντας λοιπόν θυμήσει αυτές τις έννοιες από τα μαθηματικά του Λυκείου θα προχωρήσουμε στην μέτρηση των αποστάσεων πάνω στον χώρο τον οποίο φτιάξαμε. Προς το παρόν, λέγοντας απόσταση θα εννοούμε την απόσταση που όλοι μας έχουμε συνηθίσει από την καθημερινή μας ζωή, δηλαδή αυτό που στον κόσμο των Μαθηματικών ονομάζουμε Ευκλείδεια Απόσταση - δηλαδή το μήκος της ελάχιστης ευθείας που συνδέει δύο σημεία. Ας πάρουμε λοιπόν και άλλα δύο σημεία, το Β(3,2) και το Γ(1,3) - με τον συμβολισμό Β(3,2) εννοούμε το σημείο Β του οποίου η πρώτη συντεταγμένη (τετμημένη) είναι 3 και η δεύτερη (τεταγμένη) είναι 2. Ας βρούμε πρώτα τις αποστάσεις του Α από το Β και του Α από το Γ:

Οι αποστάσεις στο Καρτεσιανό επίπεδο

Για την απόσταση του Α από το Β βλέπουμε ότι τα δύο σημεία απέχουν δύο (2) μονάδες αφού αρκεί, για να πάμε από το Α στο Β μέσω μίας ευθείας να προχωρήσουμε μόνο ανατολικά κατά δύο μονάδες. Ανάλογα προκύπτει ότι η απόσταση του Α από το Γ είναι μία (1) μονάδα, αφού για να πάμε από το Α στο Γ χρειάζεται να κινηθούμε μία μονάδα μόνο προς τον βορρά και προς καμία άλλη κατεύθυνση.

Αν όμως χρειαστεί να κινηθούμε σε δύο διαστάσεις, αν δηλαδή δεν κινούμαστε μόνο ανατολικά ή μόνο βόρρεια, αλλά πρέπει, για παράδειγμα, να πάμε από το σημείο Β στο σημείο Γ, δηλαδή πρέπει να κινηθούμε και βόρεια και δυτικά ταυτόχρονα;

Το Πυθαγόρειο Θεώρημα

Εδώ έρχεται ίσως το πιο διάσημο θεώρημα των Μαθηματικών να μας λύσει τα χέρια. Ας ανασύρουμε πρώτα από τα σχολικά μας χρόνια την κλασσική διατύπωση του Πυθαγορείου Θεωρήματος:

Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο της υποτείνουσας ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο άλλων κάθετων πλευρών.

Στην προκειμένη περίπτωση, για το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ αυτό γράφεται ως εξής:

\[(B\Gamma)^2=(AB)^2+(A\Gamma)^2\]

Κάνοντας αντικατάσταση των δύο αποστάσεων που έχουμε βρει προηγουμένως προκύπτει ότι:

\[(B\Gamma)^2=2^2+1^2\Leftrightarrow(B\Gamma)^2=5\Leftrightarrow(B\Gamma)=\sqrt{5}\]

Επομένως η Ευκλείδεια απόσταση των δύο σημείων Β(3,2) και Γ(1,3) είναι $\sqrt{5}$ μονάδες.

Σε ένα επόμενο βήμα, αξίζει τον κόπο να προσπαθήσουμε να βρούμε έναν κλειστό τύπο για τον υπολογισμό των αποστάσεων μεταξύ δύο σημείων στο Καρτεσιανό επίπεδο. Ας πάρουμε λοιπόν δύο τυχαία σημεία $A(x_1,y_1)$ και $B(x_2,y_2)$ όπου τα $x_1,y_1,x_2,y_2$ συμβολίζουν τις συντεταγμένες των δύο σημείων (άρα είναι κάποιοι αυθαίρετοι αριθμοί):

Απόσταση δύο τυχαίων σημείων

Η ιδέα είναι ακριβώς η ίδια με την προηγούμενη περίπτωση. Πρώτα απ' όλα θα προσπαθήσουμε να «εγλωβίσουμε» το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ σε ένα οργθογώνιο τρίγωνο με πλευρές παράλληλες προς τους άξονες (αφού σε τέτοιες περιπτώσεις ο υπολογισμός του μήκους είναι πολύ εύκολος «με το μάτι») και στη συνέχεια να εφαρμόσουμε το Πυθαγόρειο Θεώρημα. Ένα τέτοιο τρίγωνο εδώ είναι το ΑΚΒ, όπου το σημείο Κ έχει συντεταγμένες $(x_1,y_2)$ - μία άλλη επιλογή θα ήταν το σημείο $\Lambda(x_2,y_1)$ το οποίο καλό θα ήταν να αποπειραθείτε να το σχεδιάσετε αν δεν είστε ακόμα επαρκώς εξοικειωμένοι με τις παραπάνω ιδέες.

Υπολογίζουμε πρώτα το μήκος του ΚΒ, το οποίο θα είναι:

\[(AB)=\vert x_2-x_1\vert\]

αφού για να πάμε από το Κ στο Β κινούμαστε ανατολικά μόνο (βάλαμε απόλυτη τιμή στο αποτέλεσμα που βρήκαμε για να εξασφαλίσουμε ότι η απόσταση είναι θετική σε κάθε πρίπτωση· θα μπορούσε για παράδειγμα το τρίγωνο να ήταν «ανάποδα» - με το Β αριστερότερα του Κ).

Εντελώς ανάλογα βρίσκουμε και το μήκος του ΚΑ:

\[(KA)=\vert y_2-y_1\vert\]

Εφαρμόζουμε τώρα το Πυθαγόρειο Θεώρημα για το τρίγωνο ΑΚΒ, οπότε έχουμε:

\[(AB)^2=(KA)^2+(KB)^2\Leftrightarrow(AB)^2=\vert x_2-x_1\vert^2+\vert y_2-y_1\vert^2\Leftrightarrow\]

\[\Leftrightarrow(AB)=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\]

Το οποίο είναι ένας πολύ κομψός κλειστός τύπος που μας δείχνει ότι η απόσταση δύο σημείων εξαρτάται αποκλειστικά από τις συντεταγμένες τους, δηλαδή από τη θέση τους μέσα στο επίπεδο - πράγμα καθ' όλα αναμεμνόμενο (στο τελευταίο βήμα η απόλυτη τιμή έχει αντικατασταθεί με παρένθεση διότι ένα αριθμός υψωμένος στο τετράγωνο είναι πάντοτε μη αρνητικός).

Βλέπουμε λοιπόν ότι, στην Ευκλείδεια θεώρηση του κόσμου, πρωταρχικό ρόλο σε όλες τις μετρήσεις παίζει το Πυθαργόρειο Θεώρημα, ακόμα και όταν δεν χρησιμοποιείται άμεσα - άλλωστε τον παραπάνω τύπο που «ανακαλύψαμε» τον οφείλουμε στο Πυθαγόρειο Θεώρημα. Ας παρατηροήσουμε τώρα κάποιες ιδιότητες της απόστασης μεταξύ δύο σημείων, όπως την υπολογίσαμε παραπάνω:

Η απόσταση δύο διαφορετικών σημείων είναι αυστηρά θετική. Επίσης, η απόσταση δύο σημείων είναι μηδεν τότε και μόνον τότε όταν αυτά τα δύο σημεία ταυτίζονται, είναι δηλαδή το ίδιο σημείο.  

Πράγματι, αν πάρουμε δύο διαφορετικά σημεία, έστω τα $A(x_1,y_1)$ και $B(x_2,y_2)$ με $x_1\neq x_2$ ή $y_1\neq y_2$ (αν διαφέρουν σε μία τουλάχιστον συντεταγμένη τότε θα είναι διαφορετικά), τότε θα ισχύει $(x_2-x_1)>0$ ή $y_2-y_1>0$, άρα η μεταξύ τους απόσταση είναι θετική, αφού προσθέτουμε δύο μη αρνητικούς αριθμούς εκ των οποίων τουλάχιστον ένας δεν είναι μηδενικός. Τι δεύτερο σκέλος προκύπτει άμεσα, ακολουθώντας τον παραπάνω συλλογισμό.

Η απόσταση δύο σημείων δεν εξαρτάται από τη σειρά με την οποία «διαβάζουμε» τα σημεία.

Με άλλα λόγια, η απόσταση των σημείων Α και Β είναι ακριβώς η ίδια με την απόσταση των σημείων Β και Α (σιγά τα αυγά, κάτι είπαμε τώρα!).

Ο συντομότερος «δρόμος» για να πάω από ένα σημείο σε ένα άλλο είναι η ευθεία.

Πράγματι, η παραπάνω πρόταση μπορεί να αναδιατυπωθεί ως εξής:

Αν έχουμε δύο σημεί Α,Β τότε, για οποιοδήποτε άλλο, διαφορετικό από αυτά τα δύο σημεία, έστω Γ, ισχύει ότι:\[(AB)\leq(B\Gamma)+(A\Gamma)\]

Η παραπάνω ανισότητα είναι γνωστή και ως τριγωνική ανισότητα, όνομα το οποίο δικαιολογείται απόλυτα από το παρακάτω σχήμα:

Η τριγωνική ανισότητα

Η απόδειξη της εν λόγω ανισότητας είναι κάπως πιο τεχνική και παραλείπεται, για λόγους ευκολίας.

Αν όμως, σε κάποιο άλλο «εξωγήινο» σύμπαν δεν έχουμε σαν θεμελιώδη αρχή το Πυθαγόρειο Θεώρημα, αλλά μία άλλη σχέση που, ας πούμε, «μοιάζει» λίγο με το Πυθαγόρειο Θεώρημα, αλλά δεν είναι η ίδια ακριβώς. Αν ας πούμε επέμβουμε λίγο και, στον τύπο του Πυθαγορείου Θεωρήματος κάνουμε την εξής μετατροπή:

Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, η τέταρτη δύναμη της υποτείνουσας είναι ίση με το άθροισμα των τετάρτων δυνάμεων των δύο κάθετων πλευρών.

Να ξεκαθαρίσουμε, ευθύς εξ αρχής, ότι τα ορθογώνια τρίγωνα που αναφέρονται εδώ δεν είναι, σε καμία περίπτωση τα ίδια με αυτά που έχουμε στο μυαλό μας, αλλά κάποια άλλα, επίπεδα μεν αλλά διαφορετικά κατασκευάσματα.

Αν ακολουθήσουμε και εδώ την ίδια διαδικασία για την εύρεση ενός τύπου για την απόσταση μεταξύ δύο σημείων θα παρατηρήσουμε ότι η μόνη διαφορά είναι ότι εκεί που στους τύπους μας παρουσιάζονταν δυνάμης δεύτερης τάξης τώρα θα παρουσιάζονται δυνάμεις τέταρτης τάξης και, αντίστοιχα, εκεί που παρουσιάζονταν τετραγωνικές ρίζες θα παρουσιάζονται ρίζες τέταρτης τάξης. Επομένως, ο τύπος που θα καταλήξουμε για την απόσταση δύο σημείων $A(x_1,y_1)$ και $B(x_2,y_2)$ θα είναι ο εξής:

\[(AB)=\sqrt[4]{(x_2-x_1)^4+(y_2-y_1)^4}\]

Κάτι κρίσημο που παρατηρούμε επίσης, είναι ότι και αυτή η «απόσταση» ικανοποιεί τις τρεις παραπάνω ιδιότητες που ικανοποιεί η Ευκλείδεια απόσταση. Πράγματι,

1. Δύο διαφορετικά σημεία έχουν πάντα αυστηρά θετική απόσταση (αυτό αποδεικνύεται όπως και στην περίπτωση της Ευκλείδειας απόστασης, αφού η τέταρτη δύναμη ενός μη μηδενικού αριθμού είναι πάντα θετικός αριθμός),
2. η απόσταση δύο σημείων δεν εξαρτάται από τη σειρά με την οποία τα επιλέγουμε (δοκιμάστε να βάλετε όπου $x_2$ το $x_1$ και όπου $y_2$ το $y_1$ στον τύπο και θα δείτε ότι θα πάρετε το ίδιο αποτέλεσμα),
3. ισχύει και εδώ η τριγωνική ανισότητα (η απόδειξη είναι παρόμοια με την προηγούμενη περίπτωση, αλλά παραλείπεται και αυτή).

Επομένως η περίεργη αυτή «απόσταση» μοιάζει - τουλάχιστον στα βασικά της σημεία - με τη συνήθη απόσταση με την οποία έχουμε μεγαλώσει.

ΠΡΟΣΟΧΗ! Αυτό που έχει αλλάξει σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση είναι μόνο ο τρόπος με τον οποίο μετράμε τις αποστάσεις και, για κανέναν λόγο, ο χώρος πάνω στον οποίο τις μετράμε. Ο χώρος μας παραμένει το Καρτσειανό επίπεδο όπως αυτό το ορίσαμε, αλλά, με τον νέο τρόπο μέτρησης, αυτό που αλλάζει είναι η μορφή του, όπως την αντιλαμβανόμαστε.

Θα ασχοληθούμε τώρα με ένα άλλο βασικό σχήμα της γεωμετρίας του επιπέδου, τον κύκλο και θα εξετάσουμε πώς αυτός μεταβάλλεται υπό τους δύο διαφορετικούς κανόνες μέτρησης που έχουμε βρει. Ας θυμήσουμε αρχικά ότι με τον όρο κύκλο αναφερόμαστε σε ένα σύνολο σημείων - μία καμπύλη - τα οποία απέχουν από ένα άλλο σταθερό σημείο - το οποίο ονομάζουμε κέντρο του κύκλου - την ίδια σταθερή απόσταση - την οποία ονομάζουμε ακτίνα. Για λόγους ευκολίας θα υποθέσουμε ότι το κέντρο του κύκλου είναι η αρχή των αξόνων και ότι η ακτίνα του είναι μία (1) μονάδα. Αν μετράμε τις αποστάσεις με τον Ευκλείδειο τρόπο, τότε παίρνουμε το γνωστό μας σχήμα:

Ο κύκλος στην Ευκλείδεια περίπτωση

Αν αποπειραθούμε τώρα να σχεδιάσουμε έναν κύκλο με τη νέα, «εξωγήινη» απόσταση που έχουμε, τότε αυτός θα μοιάζει κάπως έτσι:

Μη Ευκλείδειος κύκλος

Δηλαδή τα σημεία που απέχουν απόσταση ίση με μία μονάδα (1) από την αρχή των αξόνων, σύμφωνα πάντα με τη νέα απόσταση, είναι ακριβώς αυτά που βρίσκονται πάνω στην μπλε γραμμή. Αυτό το σχήμα αντιστοιχεί λοιπόν στον κύκλο της μη Ευκλείδειας απόστασης. Για να γίνουν σαφέστερες οι διαφορές και οι ομοιότητές τους, μπορούμε να δούμε και τους δύο κύκλους στο παρακάτω σχήμα:

Οι δύο κύκλοι

Τώρα, ας υποθέσουμε ότι στεκόμαστε στην αρχή των αξόνων και παρατηρούμε το επίπεδο, μία μετρώντας τις αποστάσεις όπως ο Πυθαγόρας και μία όπως αυτοί οι «εξωγήινοι». Αυτό που θα αποπειραθούμε να κάνουμε και στις δύο περιπτώσεις είναι να κατηγοριοποιήσουμε τα σημεια γύρω μας με βάση την απόστασή τους από εμάς, με απώτερο σκοπό να αποκτήσουμε μία εποπτεία για την έννοια του κοντά και στα δύο σύμπαντα. Για να το επιτύχουμε αυτό αρκεί να σχεδιάσουμε αρκετούς ομόκεντρους κύκλους με κάποια σταθερή μεταβολή στην ακτίνα τους (π.χ. 0 - 0,05 - 0,10 - 0,15 - ... - 2,90 - 2,95 - 3 όπως παρακάτω) έτσι ώστε να δούμε, όσο πιο μακριά «κοιτάμε» τι συμβαίνει στο επίπεδο.

Για την πρώτη περίπτωση, αυτή της Ευκλείδειας απόστασης, έχουμε το εξής (αναμενόμενο) σχήμα:

Το επίπεδο όπως το «έβλεπαν» ο Ευκλείδης και ο Πυθαγόρας

Παρατηρούμε ότι η σταθερή αύξηση της ακτίνας του κύκλου οδηγεί και σε σταθερή αύξηση της «απόστασης» ανάμεσα σε διαδοχικούς κύκλους - δηλαδή η ζώνες ανάμεσα σε δύο διαδοχικούς κύκλους έχουν όλες το ίδιο «πάχος».

Ας πάμε τώρα στην εξωγήινη περίπτωση οπότε έχουμε το εξής, εντυπωσιακό, σχήμα:

Το επίπεδο όπως το «βλέπουν» αυτοι οι περίεργοι «εξωγήινοι»

Εδώ, σε αντιδιαστολή με την προηγούμενη περίπτωση, βλέπουμε ότι μία σταθερή (ίδια μάλιστα με την προηγούμενη περίτπωση) μεταβολή στην ακτίνα του κύκλου οδηγεί σε κύκλους που έχουν φθίνουσα απόσταση, όσο η ακτίνα μεγαλώνει - με άλλα λόγια, το «πάχος» των ζωνών ανάμεσα σε δύο διαδοχικούς κύκλους μικραίνει όσο προχωράμε προς τα έξω. Επομένως, όσο απομακρυνόμαστε από την αρχή των αξόνων, αυτά που με την Ευκλείδεια απόσταση ήταν μακρυά, τώρα, με τη νέα απόσταση έρχονται πιο «κοντά». Ας τοποθετήσουμε τα δύο σχήματα το ένα πάνω στο άλλο για να διακρίνουμε καλύτερα τις διαφορές τους:

Οι δύο «κόσμοι» μαζί

Ας παρατηρήσουμε αρχικά ότι ο μικρότερος κύκλος (με ακτίνα 0,05) της Ευκλείδειας περίπτωσης είναι αρκετά μικρότερος από τον αντίστοιχο της μη Ευκλείδειας (αν και έχουν την ίδια ακτίνα ο Ευκλείδειος κύκλος είναι μέσα στον άλλο εξ ολοκλήρου). Αντιθέτως, στην άλλη ακραία περίπτωση (όταν η ακτίνα είναι 3) ο Ευκλείδειος κύκλος περιέχει εξ ολοκλήρου τον άλλο κύκλο. Επομένως, στην «εξωγήινη» περίπτωση τα κοντινά - με τη συνήθη έννοια - σημεία είναι λίγο πιο μακριά ενώ τα πιο μακρινά σημεία - με τη συνήθη έννοια - είναι πιο κοντά.

Από τα παραπάνω είναι σαφές ότι, τελικά, η μορφή του χώρου γύρω μας καθορίζεται από το πώς εμείς οι ίδιοι τον «μετράμε», άρα τα πράγματα μπορεί να είναι έτσι όπως φαίνονται, σίγουρα όμως δεν είναι μόνο έτσι όπως φαίνονται.

Επειδή όμως όλα αυτά είναι στον κόσμο των μαθηματικών και θα μπορούσε κανείς εύκολα να πει ότι επειδή εξωγήινοι με τέτοια περίεργη φυσιολογία δεν κυκλοφορούν εδώ γύρω μας, όλα αυτά είναι ωραίες θεωρίες αλλά ως εκεί, ας ασχοληθούμε λίγο με το εξής παράδειγμα:

Η Όλγα και η παρέα της (η Μαρία, η Κωνσταντίνα, ο Γιάννης και ο Δημήτρης) μένουν στην ίδια πόλη και όλοι τους αγαπάνε πολύ το περπάτημα, ιδιαίτερα η Όλγα. Έτσι λοιπόν, ξέρει ακριβώς πόσο χρόνο χρειάζεται για να φτάσει στο σπίτι του καθενός μέλους της παρέας της - η Όλγα περπατάει με σταθερή ταχύτητα, την ίδια πάντα - και έχει φτιάξει το παρακάτω διάγραμμα, στο οποίο απεικονίζονται τα σπίτια των φίλων της και πάνω στα βέλη αναγράφεται ο χρόνος (μετρημένος σε όποια μονάδα θέλετε) που χρειάζεται η Όλγα για να φτάσει στο κάθε σπίτι.

Ο «κόσμος» της Όλγας

Μία αποφράδα μέρα όμως, η Όλγα παραπατάει όπως μάζευε τα χαλιά της για να τα κατεβάσει στην αποθήκη του σπιτιού της και σπάει το πόδι της. Μετά από τις απαραίτητες επισκέψεις σε γιατρούς, νοσοκομεία και τα συναφή καταλήγει να μην μπορεί να περπατήσει για μεγάλες αποστάσεις για τον επόμενο μήνα. Η Όλγα όμως δε γίνεται να μη βλέπει τους φίλους της και, δυστυχώς, οι φίλοι της δεν μπορούν να πηγαίνουν στο σπίτι της οπότε, αν θέλει να τους βλέπει πρέπει η ίδια να τους επισκέπτεται. Για καλή της τύχη, ακριβώς δίπλα από το σπίτι της βρίσκεται ένας σταθμός του αστικού λεοφωρείου, το οποίο περνάει από όλα τα σπίτια των φίλων της. Το δρομολόγιο του αστικού λεωφορείου έχει ως εξής (οι αριθμοί πάλι αντιστοιχούν στον χρόνο μετάβασης από τον ένα σταθμό στον άλλο):

Ο «κόσμος» της Όλγας με το σπασμένο πόδι

Τώρα λοιπόν ο Δημήτρης είναι πολύ πιο κοντά στην Όλγα από ότι ήταν πριν (πριν απείχε 8 μονάδες χρόνου, ενώ τώρα μόλις δύο). Επίσης και ο Γιάννης είναι λίγο πιο κοντά (3+2=5 μονάδες αντί για 6), ενώ η Μαρία και η Κωνσταντίνα έχουν «μεταφερθεί» πολύ πιο μακρυά από ότι ήταν πριν (3+2+1=6 αντί για 3 μονάδες η Μαρία και 3+2+1+4=10 αντί για 4 μονάδες η Κωνσταντίνα). Βέβαια ούτε τα σπίτια κουνήθηκαν από τη θέση τους ούτε εξωγήινοι κατβηκαν στη γη. Απλά η Όλγα έπσασε το πόδι της...

Επομένως, όλα όσα αναλύαμε παραπάνω δεν ήταν κενά νοήματος και πράγματι ο χώρος καθορίζεται από τον τρόπο με τον οποίο εμείς τον προσλαμβάνουμε και αλληλεπιδρούμε μαζί του.

Ένα μαθηματικό υστερόγραφο:
Αν μας δοθεί ένα τυχαίο σύνολο $X$, τότε κάθε συνάρτηση $d:X\times X\longrightarrow \mathbb{R}$ η οποία ικανοποιεί τις τρεις ιδιότητες που ικανοποιούν οι δύο αποστάσεις που είχαμε ορίσει προηγουμένως, δηλαδή:

1. $d(x,y)>0$ αν $x\neq y$ και $d(x,y)=0\Leftrightarrow x=y$ (θετικά ορισμένη),
2. $d(x,y)=d(y,x)$ για κάθε $x,y\in X$ (συμμετρική),
3. $d(x,y)\leq d(x,z)+d(y,z)$ για κάθε $x,y,z\in X$ (τριγωνική ανισότητα),

ονομάζεται μετρική στον χώρο $X$ και είναι ένας τρόπος για να μετράμε τις αποστάσεις των στοιχείων του χώρου $X$. Εκτός από τις δύο αποστάσεις που είδαμε παραπάνω υπάρχουν αρκετές ακόμα τέτοιες συναρτήσεις που δίνουν πολύ διαφορετικές εικόνες στο επίπεδο από αυτή που έχουν συνηθίσει τα ανθρώπινα μάτια μας. Η ανάρτηση όμως έχει γίνει αρκετά μακροσκελής για να ασχοληθούμε και με αυτές!

Και λίγη μουσική για το απόγευμα: